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计算机代写|计算方法代写ALGORITHMIC METHODS代写|Motivation

Example $7.1$ (The free fall according to Galilei ${ }^{1}$ ) Imagine an object, which released at time $t=0$, falls down under the influence of gravity. We are interested in the position $s(t)$ of the object at time $t \geq 0$ as well as in its velocity $v(t)$, see Fig. 7.1. Due to the definition of velocity as change in travelled distance divided by change

in time, the object has the average velocity
$$
v_{\text {average }}=\frac{s(t+\Delta t)-s(t)}{\Delta t}
$$
in the time interval $[t, t+\Delta t]$. In order to obtain the instantaneous velocity $v=v(t)$ we take the limit $\Delta t \rightarrow 0$ in the above formula and arrive at
$$
v(t)=\lim {\Delta t \rightarrow 0} \frac{s(t+\Delta t)-s(t)}{\Delta t} . $$ Galilei discovered through his experiments that the travelled distance in free fall increases quadratically with the time passed, i.e. the law $$ s(t)=\frac{\mathrm{g}}{2} t^{2} $$ with $\mathrm{g} \approx 9.81 \mathrm{~m} / \mathrm{s}^{2}$ holds. Thus we obtain the expression $$ v(t)=\lim {\Delta t \rightarrow 0} \frac{\frac{\mathrm{g}}{2}(t+\Delta t)^{2}-\frac{\mathrm{g}}{2} t^{2}}{\Delta t}=\frac{\mathrm{g}}{2} \lim {\Delta t \rightarrow 0}(2 t+\Delta t)=\mathrm{g} t $$ for the instantaneous velocity. The velocity is hence proportional to the time passed. Example 7.2 (The tangent problem) Consider a real function $f$ and two different points $P=\left(x{0}, f\left(x_{0}\right)\right)$ and $Q=(x, f(x))$ on the graph of the function. The uniquely defined straight line through these two points is called secant of the function $f$ through $P$ and $Q$, see Fig. 7.2. The slope of the secant is given by the difference quotient
$$
\frac{\Delta y}{\Delta x}=\frac{f(x)-f\left(x_{0}\right)}{x-x_{0}} .
$$

计算机代写|计算方法代写ALGORITHMIC METHODS代写|The Derivative

Motivated by the above applications we are going to define the derivative of a realvalued function.

Definition 7.4 (Derivative) Let $I \subset \mathbb{R}$ be an open interval, $f: I \rightarrow \mathbb{R}$ a realvalued function and $x_{0} \in I$.
(a) The function $f$ is called differentiable at $x_{0}$ if the difference quotient
$$
\frac{\Delta y}{\Delta x}=\frac{f(x)-f\left(x_{0}\right)}{x-x_{0}}
$$
has a (finite) limit for $x \rightarrow x_{0}$. In this case one writes
$$
f^{\prime}\left(x_{0}\right)=\lim {x \rightarrow x{0}} \frac{f(x)-f\left(x_{0}\right)}{x-x_{0}}=\lim {h \rightarrow 0} \frac{f\left(x{0}+h\right)-f\left(x_{0}\right)}{h}
$$
and calls the limit derivative of $f$ at the point $x_{0}$.
(b) The function $f$ is called differentiable (in the interval $I$ ) if $f^{\prime}(x)$ exists for all $x \in I$. In this case the function
$$
f^{\prime}: I \rightarrow \mathbb{R}: x \mapsto f^{\prime}(x)
$$
is called the derivative of $f$. The process of computing $f^{\prime}$ from $f$ is called differentiation.

In place of $f^{\prime}(x)$ one often writes $\frac{\mathrm{d} f}{\mathrm{~d} x}(x)$ or $\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d} x} f(x)$, respectively. The following examples show how the derivative of a function is obtained by means of the limiting process above.

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计算方法代写

计算机代写|计算方法代写ALGORITHMIC METHODS代 写|Motivation


例子 $7.1$ (根据伽利略的自由落体 1 ) 想象一个对象, 它在时间释放 $t=0$, 在重力的影响下落下。我们对这个 职位感兴棷 $s(t)$ 当时的对象 $t \geq 0$ 以及它的速度 $v(t)$, 见图 7.1。由于速度的定义是行进距离的变化除以变 化
在时间上, 物体具有平均速度
$$
v_{\text {average }}=\frac{s(t+\Delta t)-s(t)}{\Delta t}
$$
在时间间隔内 $[t, t+\Delta t]$. 为了获得瞬时速度 $v=v(t)$ 我们接受极限 $\Delta t \rightarrow 0$ 在上面的公式中并到达
$$
v(t)=\lim \Delta t \rightarrow 0 \frac{s(t+\Delta t)-s(t)}{\Delta t} .
$$
伽利略通过他的实验发现, 自由藻体的行进距离随时间的推移呈二次方增加, 即定律
$$
s(t)=\frac{\mathrm{g}}{2} t^{2}
$$
和 $\mathrm{g} \approx 9.81 \mathrm{~m} / \mathrm{s}^{2}$ 持有。因此我们得到表达式
$$
v(t)=\lim \Delta t \rightarrow 0 \frac{\frac{\mathrm{g}}{2}(t+\Delta t)^{2}-\frac{\mathrm{g}}{2} t^{2}}{\Delta t}=\frac{\mathrm{g}}{2} \lim \Delta t \rightarrow 0(2 t+\Delta t)=\mathrm{g} t
$$
为瞬时速度。因此, 速度与经过的时间成正比。例 $7.2$ (正切问题) 考虑一个实函数 $f$ 和两个不同的点 $P=\left(x 0, f\left(x_{0}\right)\right)$ 和 $Q=(x, f(x))$ 在函数图上。通过这两个点的唯一定义的直线称为函数的割线 $f$ 通过 $P$ 和 $Q$, 见图 7.2。割线的斜率由差商给出
$$
\frac{\Delta y}{\Delta x}=\frac{f(x)-f\left(x_{0}\right)}{x-x_{0}} .
$$


计算机代写|计算方法代写 ALGORITHMIC METHODS代写|The Derivative


受上述应用的启发, 我们将定义实值函数的导数。
定义 $7.4$ (导数) 让 $I \subset \mathbb{R}$ 为开区间, $f: I \rightarrow \mathbb{R}$ 一个实值函数和 $x_{0} \in I$.
(a) 功能 $f$ 称为可微分 $x_{0}$ 如果差商
$$
\frac{\Delta y}{\Delta x}=\frac{f(x)-f\left(x_{0}\right)}{x-x_{0}}
$$
有一个 (有限的) 限制 $x \rightarrow x_{0}$. 在这种情况下, 写
$$
f^{\prime}\left(x_{0}\right)=\lim x \rightarrow x 0 \frac{f(x)-f\left(x_{0}\right)}{x-x_{0}}=\lim h \rightarrow 0 \frac{f(x 0+h)-f\left(x_{0}\right)}{h}
$$
并调用极限导数 $f$ 在这一点上 $x_{0}$.
(b) 功能 $f$ 称为可微的 (在区间 $I$ ) 如果 $f^{\prime}(x)$ 为所有人而存在 $x \in I$. 在这种情况下, 函数
$$
f^{\prime}: I \rightarrow \mathbb{R}: x \mapsto f^{\prime}(x)
$$
被称为导数 $f$. 计算过程 $f^{\prime}$ 从 $f$ 称为分化。
代替 $f^{\prime}(x)$ 一个人经常写 $\frac{\mathrm{d} f}{\mathrm{~d} x}(x)$ 或者 $\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d} x} f(x)$, 分别。下面的例子展示了如何通过上述限制过程获得函数 的导数。

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微观经济学代写

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线性代数代写

线性代数是数学的一个分支,涉及线性方程,如:线性图,如:以及它们在向量空间和通过矩阵的表示。线性代数是几乎所有数学领域的核心。



博弈论代写

现代博弈论始于约翰-冯-诺伊曼(John von Neumann)提出的两人零和博弈中的混合策略均衡的观点及其证明。冯-诺依曼的原始证明使用了关于连续映射到紧凑凸集的布劳威尔定点定理,这成为博弈论和数学经济学的标准方法。在他的论文之后,1944年,他与奥斯卡-莫根斯特恩(Oskar Morgenstern)共同撰写了《游戏和经济行为理论》一书,该书考虑了几个参与者的合作游戏。这本书的第二版提供了预期效用的公理理论,使数理统计学家和经济学家能够处理不确定性下的决策。



微积分代写

微积分,最初被称为无穷小微积分或 “无穷小的微积分”,是对连续变化的数学研究,就像几何学是对形状的研究,而代数是对算术运算的概括研究一样。

它有两个主要分支,微分和积分;微分涉及瞬时变化率和曲线的斜率,而积分涉及数量的累积,以及曲线下或曲线之间的面积。这两个分支通过微积分的基本定理相互联系,它们利用了无限序列和无限级数收敛到一个明确定义的极限的基本概念 。



计量经济学代写

什么是计量经济学?
计量经济学是统计学和数学模型的定量应用,使用数据来发展理论或测试经济学中的现有假设,并根据历史数据预测未来趋势。它对现实世界的数据进行统计试验,然后将结果与被测试的理论进行比较和对比。

根据你是对测试现有理论感兴趣,还是对利用现有数据在这些观察的基础上提出新的假设感兴趣,计量经济学可以细分为两大类:理论和应用。那些经常从事这种实践的人通常被称为计量经济学家。



MATLAB代写

MATLAB 是一种用于技术计算的高性能语言。它将计算、可视化和编程集成在一个易于使用的环境中,其中问题和解决方案以熟悉的数学符号表示。典型用途包括:数学和计算算法开发建模、仿真和原型制作数据分析、探索和可视化科学和工程图形应用程序开发,包括图形用户界面构建MATLAB 是一个交互式系统,其基本数据元素是一个不需要维度的数组。这使您可以解决许多技术计算问题,尤其是那些具有矩阵和向量公式的问题,而只需用 C 或 Fortran 等标量非交互式语言编写程序所需的时间的一小部分。MATLAB 名称代表矩阵实验室。MATLAB 最初的编写目的是提供对由 LINPACK 和 EISPACK 项目开发的矩阵软件的轻松访问,这两个项目共同代表了矩阵计算软件的最新技术。MATLAB 经过多年的发展,得到了许多用户的投入。在大学环境中,它是数学、工程和科学入门和高级课程的标准教学工具。在工业领域,MATLAB 是高效研究、开发和分析的首选工具。MATLAB 具有一系列称为工具箱的特定于应用程序的解决方案。对于大多数 MATLAB 用户来说非常重要,工具箱允许您学习应用专业技术。工具箱是 MATLAB 函数(M 文件)的综合集合,可扩展 MATLAB 环境以解决特定类别的问题。可用工具箱的领域包括信号处理、控制系统、神经网络、模糊逻辑、小波、仿真等。

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