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组合学Combinatorics莱昂-米尔斯基曾说过。”组合学是一系列相互关联的研究，它们有一些共同点，但在其目标、方法和所达到的一致程度上有很大的差异。”
3定义组合学的一种方法也许是描述其细分的问题和技术。这就是下面使用的方法。然而，将一些课题纳入或不纳入组合学的范畴也有纯粹的历史原因。尽管主要关注的是有限系统，但一些组合学问题和技术可以扩展到无限（具体而言，可数）但离散的环境。
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英国补考|组合学代考COMBINATORICS代考|Some More Examples
Example 4.3.1. Let us determine how many different words without patterns CC, OO, and II can be obtained by permuting the letters of the word COMBINATORICS.
The total number of arrangements that can be obtained by permuting the letters of the word COMBINATORICS is equal to $\frac{13 !}{2 ! 2 ! 2 !}$. Let us denote by $A_{1}, A_{2}$, and $A_{3}$ the sets of arrangements with the patterns $\mathrm{CC}, \mathrm{OO}$, and II respectively. Using the inclusion-exclusion principle, i.e., formula (4.2.2), we obtain that the number of words without the specified patterns is equal to
$$
\frac{13}{2 ! 2 ! 2 !}-\left|A_{1} \cup A_{2} \cup A_{3}\right|=\frac{13 !}{(2 !)^{3}}-3 \cdot \frac{12 !}{(2 !)^{2}}+3 \cdot \frac{11 !}{2 !}-10 ! . \triangle
$$
Example 4.3.2. Let $S={1,2, \ldots, n}, F={f \mid f: S \rightarrow S}$, and $F_{0} \subset F$ be the set of functions $f: S \rightarrow S$ without fixed points. Let us determine the number of elements of set $F_{0}$.
Let us denote $F_{i}={f \in F \mid f(i)=i}, i \in{1,2, \ldots, n}$. Then, for any $k \in{1,2, \ldots, n}$, and any $k$-combination $\left{i_{1}, i_{2}, \ldots, i_{k}\right}$ of the elements of set ${1,2, \ldots, n}$ the following equality holds
$$
\left|F_{i_{1}} \cap F_{i_{2}} \cap \cdots \cap F_{i_{k}}\right|=n^{n-k},
$$
This is true because the number of functions $f: S \rightarrow S$, for which the points $i_{1}, i_{2}, \ldots, i_{k}$ are fixed, is equal to the number of all functions $g: T \rightarrow S$, where $T=S \backslash\left{i_{1}, i_{2}, \ldots, i_{k}\right}$ and $|T|=n-k$. Using (4.2.2) we obtain that
$$
\begin{aligned}
\left|F_{0}\right| &=\sum_{k=0}^{n}(-1)^{k}\left(\begin{array}{l}
n \
k
\end{array}\right) n^{n-k}=\sum_{j=n}^{0}(-1)^{n-j}\left(\begin{array}{l}
n \
j
\end{array}\right) n^{j} \
&=n^{n}-\left(\begin{array}{l}
n \
1
\end{array}\right) n^{n-1}+\left(\begin{array}{l}
n \
2
\end{array}\right) n^{n-2}-\cdots+(-1)^{n} . \triangle
\end{aligned}
$$
英国补考|组合学代考COMBINATORICS代考|Generalized Inclusion-Exclusion Principle
Let $S=\left{a_{1}, a_{2}, \ldots, a_{m}\right}$. Suppose that element $a_{k}$ has weight $w\left(a_{k}\right)$. The weight of set $A \subset S$ is defined as the sum of the weights of its elements. Let $A_{1}, A_{2}, \ldots, A_{n}$ be subsets of set $S$. Let us introduce the following notation:
- $W\left(A_{j_{1}}, A_{j_{2}}, \ldots, A_{j_{k}}\right)$ – the weight of set $A_{j_{1}} \cap A_{j_{2}} \cap \cdots \cap A_{j_{k}}$, where $\left{j_{1}, j_{2}, \ldots, j_{k}\right}$ is a $k$-combination of the elements of set ${1,2, \ldots, n}$;
- $W(k)=\sum W\left(A_{j_{1}}, A_{j_{2}}, \ldots, A_{j_{k}}\right)$, where the sum runs over all $k$ combinations $\left{j_{1}, j_{2}, \ldots, j_{k}\right}$ of the elements of set ${1,2, \ldots, n}$;
- $W(0)$ and $W-$ the weights of sets $S \backslash\left(A_{1} \cup A_{2} \cup \cdots \cup A_{n}\right)$ and $S$, respectively.
Theorem 4.4.1. The following equality holds true:
$$
W-W(0)=W(1)-W(2)+W(3)-\cdots+(-1)^{n-1} W(n)
$$
Remark 4.4.2. Suppose that the weight of each element is equal to 1 . In this case formula (4.1.3) is a special case of formula (4.4.1). Both proofs of formula (4.1.3) can be slightly modified in order to cover the more general formula (4.4.1). The case when the sum of the weights of all the elements of set $S$ is equal to 1 is of special interest in probability theory.
组合学代写
英国补考|组合学代考 COMBINATORICS代考|Some More Examples
示例 4.3.1。让我们确定通过排列单词 COMBINATORICS 的字母可以获得多少个汥有模式 CC、OO 和 II 的不同单词。
通过排列单词 COMBINATORICS 的字母可以获得的排列总数等于 $\frac{13 !}{2 ! 2 ! 2 !}$. 让我们用 $A_{1}, A_{2}$, 和 $A_{3}$ 带有模 式的排列集 CC, OO, 和 II。使用包含-排除原则, 即公式 (4.2.2) , 我们得到没有指定模式的单词数等于
$$
\frac{13}{2 ! 2 ! 2 !}-\left|A_{1} \cup A_{2} \cup A_{3}\right|=\frac{13 !}{(2 !)^{3}}-3 \cdot \frac{12 !}{(2 !)^{2}}+3 \cdot \frac{11 !}{2 !}-10 ! . \triangle
$$
例 4.3.2。让 $S=1,2, \ldots, n, F=f \mid f: S \rightarrow S$, 和 $F_{0} \subset F$ 是函数集 $f: S \rightarrow S$ 没有固定点。让我 们确定集合的元素数 $F_{0}$.
让我们表示 $F_{i}=f \in F \mid f(i)=i, i \in 1,2, \ldots, n$. 那么, 对于任何 $k \in 1,2, \ldots, n$, 和任何 $k$-组合
$$
\left|F_{i_{1}} \cap F_{i_{2}} \cap \cdots \cap F_{i_{k}}\right|=n^{n-k},
$$
这是真的, 因为函数的数量 $f: S \rightarrow S$, 其中点 $i_{1}, i_{2}, \ldots, i_{k}$ 是固定的, 等于所有函数的个数 $g: T \rightarrow S$
$$
\left|F_{0}\right|=\sum_{k=0}^{n}(-1)^{k}(n k) n^{n-k}=\sum_{j=n}^{0}(-1)^{n-j}(n j) n^{j}=n^{n}-(n 1) n^{n-1}+(n 2) n^{n-2}-
英国补考|组合学代考COMBINATORICS代考|Generalized Inclusion-Exclusion Principle
素的权重之和。让 $A_{1}, A_{2}, \ldots, A_{n}$ 是集合的子集 $S$. 让我们引入以下符号:
- $W\left(A_{j_{1}}, A_{j_{2}}, \ldots, A_{j_{k}}\right)$ – 集合的权重 $A_{j_{1}} \cap A_{j_{2}} \cap \cdots \cap A_{j_{k}}$, 在哪里
- $W(k)=\sum W\left(A_{j_{1}}, A_{j_{2}}, \ldots, A_{j_{k}}\right)$, 总和超过所有 $k$ 组合
- $W(0)$ 和 $W-$ 集合的权重 $S \backslash\left(A_{1} \cup A_{2} \cup \cdots \cup A_{n}\right)$ 和 $S$, 分别。
定理 4.4.1。以下等式成立:
$$
W-W(0)=W(1)-W(2)+W(3)-\cdots+(-1)^{n-1} W(n)
$$
备注 4.4.2。假设每个元素的柽重等于 1 。在这种情况下, 公式 (4.1.3) 是公式 (4.4.1) 的一个 特例。公式 (4.1.3) 的两个证明都可以稍作修改, 以涵盖更一般的公式 (4.4.1)。集合中所有元 素的桢重之和的情况 $S$ 等于 1 在概率论中特别有趣。
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微观经济学代写
微观经济学是主流经济学的一个分支，研究个人和企业在做出有关稀缺资源分配的决策时的行为以及这些个人和企业之间的相互作用。my-assignmentexpert™ 为您的留学生涯保驾护航 在数学Mathematics作业代写方面已经树立了自己的口碑, 保证靠谱, 高质且原创的数学Mathematics代写服务。我们的专家在图论代写Graph Theory代写方面经验极为丰富，各种图论代写Graph Theory相关的作业也就用不着 说。
线性代数代写
线性代数是数学的一个分支，涉及线性方程，如：线性图，如：以及它们在向量空间和通过矩阵的表示。线性代数是几乎所有数学领域的核心。
博弈论代写
现代博弈论始于约翰-冯-诺伊曼（John von Neumann）提出的两人零和博弈中的混合策略均衡的观点及其证明。冯-诺依曼的原始证明使用了关于连续映射到紧凑凸集的布劳威尔定点定理，这成为博弈论和数学经济学的标准方法。在他的论文之后，1944年，他与奥斯卡-莫根斯特恩（Oskar Morgenstern）共同撰写了《游戏和经济行为理论》一书，该书考虑了几个参与者的合作游戏。这本书的第二版提供了预期效用的公理理论，使数理统计学家和经济学家能够处理不确定性下的决策。
微积分代写
微积分，最初被称为无穷小微积分或 “无穷小的微积分”，是对连续变化的数学研究，就像几何学是对形状的研究，而代数是对算术运算的概括研究一样。
它有两个主要分支，微分和积分；微分涉及瞬时变化率和曲线的斜率，而积分涉及数量的累积，以及曲线下或曲线之间的面积。这两个分支通过微积分的基本定理相互联系，它们利用了无限序列和无限级数收敛到一个明确定义的极限的基本概念 。
计量经济学代写
什么是计量经济学？
计量经济学是统计学和数学模型的定量应用，使用数据来发展理论或测试经济学中的现有假设，并根据历史数据预测未来趋势。它对现实世界的数据进行统计试验，然后将结果与被测试的理论进行比较和对比。
根据你是对测试现有理论感兴趣，还是对利用现有数据在这些观察的基础上提出新的假设感兴趣，计量经济学可以细分为两大类：理论和应用。那些经常从事这种实践的人通常被称为计量经济学家。
MATLAB代写
MATLAB 是一种用于技术计算的高性能语言。它将计算、可视化和编程集成在一个易于使用的环境中，其中问题和解决方案以熟悉的数学符号表示。典型用途包括：数学和计算算法开发建模、仿真和原型制作数据分析、探索和可视化科学和工程图形应用程序开发，包括图形用户界面构建MATLAB 是一个交互式系统，其基本数据元素是一个不需要维度的数组。这使您可以解决许多技术计算问题，尤其是那些具有矩阵和向量公式的问题，而只需用 C 或 Fortran 等标量非交互式语言编写程序所需的时间的一小部分。MATLAB 名称代表矩阵实验室。MATLAB 最初的编写目的是提供对由 LINPACK 和 EISPACK 项目开发的矩阵软件的轻松访问，这两个项目共同代表了矩阵计算软件的最新技术。MATLAB 经过多年的发展，得到了许多用户的投入。在大学环境中，它是数学、工程和科学入门和高级课程的标准教学工具。在工业领域，MATLAB 是高效研究、开发和分析的首选工具。MATLAB 具有一系列称为工具箱的特定于应用程序的解决方案。对于大多数 MATLAB 用户来说非常重要，工具箱允许您学习和应用专业技术。工具箱是 MATLAB 函数（M 文件）的综合集合，可扩展 MATLAB 环境以解决特定类别的问题。可用工具箱的领域包括信号处理、控制系统、神经网络、模糊逻辑、小波、仿真等。