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数学代写|理论计算机代写THEORETICAL COMPUTER SCIENCE代写|Preliminaries
We assume readers have basic knowledge about graph theory [6] and we shall only recall basic notations here. Let $G$ be a graph. We write $\mathbf{V}(G)$ for the set of vertices and $\mathbf{E}(G)$ for the set of edges. For any $V^{\prime} \subseteq \mathbf{V}(G)$, we denote by $G\left[V^{\prime}\right]$ the subgraph of $G$ induced by the vertices $V^{\prime}$, that is $G\left[V^{\prime}\right]=\left(V^{\prime}, E^{\prime}\right)$ and $(u, v) \in E^{\prime}$ iff $u, v \in V^{\prime}$ and $(u, v) \in \mathbf{E}(G)$. Let $\mathcal{M}$ be a multiset of colors, whose colors are taken from the set $\mathcal{C}=\left{c_{1}, c_{2}, \ldots, c_{q}\right}$. Let $G$ be a connected graph, where every vertex $u \in V(G)$ is assigned a color $\lambda(u) \in \mathcal{C}$. For any subset $V^{\prime}$ of $V$, let $C\left(V^{\prime}\right)$ be the multiset of colors assigned to the vertices in $V^{\prime}$. A subset of vertices $V^{\prime} \subseteq \mathbf{V}(G)$ is said to match a multiset of colors $\mathcal{M}$ if $C\left(V^{\prime}\right)$ is equal to $\mathcal{M}$. A color-preserving injective mapping $\theta$ of $\mathcal{M}$ to $G$ is an injective mapping $\theta: \mathcal{M} \rightarrow \mathbf{V}(G)$, such that $\lambda(\theta(c))=c$ for every $c \in \mathcal{M}$. The subgraph induced by a color-preserving injective mapping $\theta: \mathcal{M} \rightarrow \mathbf{V}(G)$ is the subgraph of $G$ induced by the images of $\theta$ in $G$.
We are now in position to formally define the MIN-CC problem we are interested in. Given a set of colors $\mathcal{C}$, a multiset (motif) $\mathcal{M}$ of size $k$ of colors from $\mathcal{C}$ and a target graph $G$ of order $n$ together with a vertex-coloring mapping $\lambda: \mathbf{V}(G) \rightarrow \mathcal{C}$, find a color preserving injective mapping $\theta: \mathcal{M} \rightarrow \mathbf{V}(G)$, i.e., $\lambda(\theta(c))=c$ for every $c \in \mathcal{M}$ that minimizes the number of connected components in the subgraph induced by $\theta$. In other words, the MIN-CC problem asks to find a subset $V^{\prime} \subseteq \mathbf{V}(G)$ that matches $\mathcal{M}$, and that minimizes the number of connected components of $G\left[V^{\prime}\right]$. The MIN-CC problem was proved to be NP-complete even if the target graph is a tree and the occurrence is required to be connected (the occurrence of $\mathcal{M}$ in $G$ results in one connected component) but fixed-parameter tractable in this case when parameterized by the size of the given motif $[11]$
数学代写|理论计算机代写THEORETICAL COMPUTER SCIENCE代写|Hardness result for paths
In this section we show that the MIN-CC problem is APX-hard (not approximable within a constant) even in the simple case where the motif $\mathcal{M}$ is a set and the target graph is a path in which each color in $\mathcal{C}$ occurs exactly twice. Our proof consists in a reduction from a restricted version of the PAINTSHOP-FOR-WORDS problem $[2,3,15]$.
First, we need some additional definitions. Define an isogram to be a word in which no letter is used more than once. A pair isogram is a word in which each letter occurs exactly twice. A cover of size $k$ of a word $u$ is an ordered collection of words $C=\left(v_{1}, v_{2}, \ldots, v_{k}\right)$ such that $u=w_{1} v_{1} w_{2} v_{2} \ldots w_{k} v_{k} w_{k+1}$ and $v=v_{1} v_{2} \ldots v_{k}$ is an isogram The cover is called prefix (resp. suffix) if $w_{1}$ (resp. $w_{k+1}$ ) is the empty word.
A proper 2-coloring of a pair isogram $u$ is an assignment $f$ of colors $c_{1}$ and $c_{2}$ to the letters of $u$ such that every letter of $u$ is colored with color $c_{1}$ once and colored with color $c_{2}$ once. If two adjacent letters $x$ and $y$ are colored with different colors we say that there is a color change between $x$ and $y$. For the sake of brevity, we denote a pair isogram $u$ together with a proper 2 -coloring $f$ of it as the pair $(u, f)$.
The 1-REGULAR-2-COLORS-PAINT-SHOP problem is defined as follows: Given a pair isogram $u$, find a 2-coloring $f$ of $u$ that minimizes the number of color changes in $(u, f)$. Bonsma [2] proved that the 1-REgULAR-2-COLORS-PAINTSHOP problem is APX-hard. We show here how to reduce the 1-REGULAR-2COLORS-PAINT-SHOP problem to the MIN-CC problem for paths. We need the following easy lemmas.
理论计算机代写
数学代㝍|理论计算机代写THEORETICAL COMPUTER SCIENCE代㝍|Preliminaries
我们假设读者具有图论 [6] 的基本知识, 我们将在这里只回忆基本符号。让 $G$ 成为一个图表。我们写 $\mathbf{V}(G)$ 对于顶点集和 $\mathbf{E}(G)$ 对于边集。对于任何 $V^{\prime} \subseteq \mathbf{V}(G)$ ，我们表示为 $G\left[V^{\prime}\right]$ 的子图 $G$ 由顶点诱导 $V^{\prime}$ ，那是 $G\left[V^{\prime}\right]=\left(V^{\prime}, E^{\prime}\right)$ 和 $(u, v) \in E^{\prime}$ 当且当 $u, v \in V^{\prime}$ 和 $(u, v) \in \mathbf{E}(G)$. 让 $\mathcal{M}$ 是一组颜色, 其颜色取自集 $\mathrm{~ 合 ~ \ m a t h c a l { C } = \ l e f t {}$ 配了一种颜色 $\lambda(u) \in \mathcal{C}$. 对于任何子集 $V^{\prime}$ 的 $V$, 让 $C\left(V^{\prime}\right)$ 是分配给顶点的多组颜色 $V^{\prime}$. 顶点的子集 $V^{\prime} \subseteq \mathbf{V}(G)$ 据说可以匹配多种颜色 $\mathcal{M}$ 如果 $C\left(V^{\prime}\right)$ 等于 $\mathcal{M}$. 一种保色的内射映射 $\theta$ 的 $\mathcal{M}$ 至 $G$ 是一个单射映 射 $\theta: \mathcal{M} \rightarrow \mathbf{V}(G)$, 这样 $\lambda(\theta(c))=c$ 对于每个 $c \in \mathcal{M}$. 由保色单射映射诱导的子图 $\theta: \mathcal{M} \rightarrow \mathbf{V}(G)$ 是 的子图 $G$ 由图像引起的 $\theta$ 在 $G$.
我们现在可以正式定义我们感兴掫的 MIN-CC 问题。给定一组颜色 $\mathcal{C}$, 一个多重集 (母题) $\mathcal{M}$ 大小的 $k$ 竡 色来自 $\mathcal{C}$ 和一个目标图 $G$ 有秩序的 $n$ 连同顶点着色映射 $\lambda: \mathbf{V}(G) \rightarrow \mathcal{C}$, 找到一个保色的单射映射 $\theta: \mathcal{M} \rightarrow \mathbf{V}(G)$, 那是, $\lambda(\theta(c))=c$ 对于每个 $c \in \mathcal{M}$ 最小化子图中连接组件的数量 $\theta$. 换句话说, MIN-CC 问题要求找到一个子集 $V^{\prime} \subseteq \mathbf{V}(G)$ 匹配的 $\mathcal{M}$, 并且最小化连接组件的数量 $G\left[V^{\prime}\right]$. MIN-CC 问 题被证明是 NP 完全的, 即使目标图是一棵树并且要求其出现是连通的 (出现 $\mathcal{M}$ 在 $G$ 导致一个连接的组 件), 但在这种情况下, 当通过给定主题的大小参数化时, 固定参数易于处理 $[11]$
数学代㝍|理论计算机代㝍THEORETICAL COMPUTER SCIENCE代写|Hardness result for paths
在本节中, 我们展示了 MIN-CC 问题是 APX-hard (在常数内不可近似), 即使在简单的情况下 $\mathcal{M}$ 是一个 集合, 目标图是其中每种颜色的路径C恰好发生两次。我们的证明在于减少 PAINTSHOP-FOR-WORDS 问 题的受限版本 $[2,3,15]$.
首先, 我们需要一些额外的定义。将等值线定义为一个没有多次使用字母的单词。一对等值线是一个单词, 其中每个字母恰好出现两次。大小的封面 $k$ 一句话 $u$ 是单词的有序集合 $C=\left(v_{1}, v_{2}, \ldots, v_{k}\right)$ 这样
$u=w_{1} v_{1} w_{2} v_{2} \ldots w_{k} v_{k} w_{k+1}$ 和 $v=v_{1} v_{2} \ldots v_{k}$ 是一个等值线覆盖被称为前缨 (resp. suffix) 如果 $w_{1}$ (分别。 $w_{k+1}$ ) 是空词。
一对等值图的适当 2 着色 $u$ 是一个任务 $f$ 竡色的 $c_{1}$ 和 $c_{2}$ 给的信 $u$ 这样每一个字母 $u$ 用颜色着色 $c_{1}$ 一次并用颜 色着色 $c_{2}$ 一次。如果两个相邻的字母 $x$ 和 $y$ 用不同的颜色着色我们说之间有颜色变化 $x$ 和 $y$. 为简洁起见, 我 们表示一对等值线 $u$ 加上适当的 2 着色 $f$ 它作为一对 $(u, f)$.
1-REGULAR-2-COLORS-PAINT-SHOP 问题定义如下: 给定一对等值线 $u$, 找到一个 2-coloring $f$ 的 $u$ 最 大限度地减少颜色变化的次数 $(u, f)$. Bonsma [2] 证明 1-REgULAR-2-COLORS-PAINTSHOP 问题是
APX-hard。我们在这里展示如何将路径的 1-REGULAR-2COLORS-PAINT-SHOP 问题简化为 MIN-CC 问题。我们需要以下简单的引理。
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微观经济学代写
微观经济学是主流经济学的一个分支，研究个人和企业在做出有关稀缺资源分配的决策时的行为以及这些个人和企业之间的相互作用。my-assignmentexpert™ 为您的留学生涯保驾护航 在数学Mathematics作业代写方面已经树立了自己的口碑, 保证靠谱, 高质且原创的数学Mathematics代写服务。我们的专家在微观经济学代写Graph Theory代写方面经验极为丰富，各种微观经济学代写Microeconomics相关的作业也就用不着 说。
机器学习代写
机器学习（ML）是一个致力于理解和建立 “学习 “方法的研究领域，也就是说，利用数据来提高某些任务的性能的方法。机器学习算法基于样本数据（称为训练数据）建立模型，以便在没有明确编程的情况下做出预测或决定。机器学习算法被广泛用于各种应用中，如医学、电子邮件过滤、语音识别和计算机视觉，在这些应用中，开发传统算法来执行所需任务是困难的或不可行的。机器学习与统计学密切相关，统计学专注于使用计算机进行预测，但并非所有的机器学习都是统计学习。数学优化的研究为机器学习领域提供了方法、理论和应用领域。
统计推断代写
统计推断是指从数据中得出关于种群或科学真理的结论的过程。进行推断的模式有很多，包括统计建模、面向数据的策略以及在分析中明确使用设计和随机化。
微积分代写
微积分，最初被称为无穷小微积分或 “无穷小的微积分”，是对连续变化的数学研究，就像几何学是对形状的研究，而代数是对算术运算的概括研究一样。
它有两个主要分支，微分和积分；微分涉及瞬时变化率和曲线的斜率，而积分涉及数量的累积，以及曲线下或曲线之间的面积。这两个分支通过微积分的基本定理相互联系，它们利用了无限序列和无限级数收敛到一个明确定义的极限的基本概念 。
计量经济学代写
什么是计量经济学？
计量经济学是统计学和数学模型的定量应用，使用数据来发展理论或测试经济学中的现有假设，并根据历史数据预测未来趋势。它对现实世界的数据进行统计试验，然后将结果与被测试的理论进行比较和对比。
根据你是对测试现有理论感兴趣，还是对利用现有数据在这些观察的基础上提出新的假设感兴趣，计量经济学可以细分为两大类：理论和应用。那些经常从事这种实践的人通常被称为计量经济学家。
MATLAB代写
MATLAB 是一种用于技术计算的高性能语言。它将计算、可视化和编程集成在一个易于使用的环境中，其中问题和解决方案以熟悉的数学符号表示。典型用途包括：数学和计算算法开发建模、仿真和原型制作数据分析、探索和可视化科学和工程图形应用程序开发，包括图形用户界面构建MATLAB 是一个交互式系统，其基本数据元素是一个不需要维度的数组。这使您可以解决许多技术计算问题，尤其是那些具有矩阵和向量公式的问题，而只需用 C 或 Fortran 等标量非交互式语言编写程序所需的时间的一小部分。MATLAB 名称代表矩阵实验室。MATLAB 最初的编写目的是提供对由 LINPACK 和 EISPACK 项目开发的矩阵软件的轻松访问，这两个项目共同代表了矩阵计算软件的最新技术。MATLAB 经过多年的发展，得到了许多用户的投入。在大学环境中，它是数学、工程和科学入门和高级课程的标准教学工具。在工业领域，MATLAB 是高效研究、开发和分析的首选工具。MATLAB 具有一系列称为工具箱的特定于应用程序的解决方案。对于大多数 MATLAB 用户来说非常重要，工具箱允许您学习和应用专业技术。工具箱是 MATLAB 函数（M 文件）的综合集合，可扩展 MATLAB 环境以解决特定类别的问题。可用工具箱的领域包括信号处理、控制系统、神经网络、模糊逻辑、小波、仿真等。